統測資電類・資訊科專業科目（二）核心考點

第 11 章：數學函式庫與應用題

本章統整統測程式設計中「數學函式庫」的核心工具：sqrt、pow、sin、fabs、floor、ceil、fmin、fmax，以及用勘根定理判斷區間解的應用題（111～115 年共計 3 題考古真題）。出題老師最愛把「定義域錯誤（domain error）」與「多層函式呼叫的逐步計算」揉合在一起設計陷阱。本教學將帶你掌握逐步拆解多層函式呼叫的技巧，並透過3 題真題 + 5 題模擬題的所有選項深度剖析，徹底掃除所有答題盲點！

📐

6 大核心

數學函式庫觀念全解構

🎯

3 題真題

111~115 統測題全收錄

💡

全選項剖析

A/B/C/D 逐項深入拆解

🚀

100% 互動

點擊即答 + 展開詳解

1 sqrt()、pow()、sin() 等常用數學函式

<math.h> 提供了許多常用數學函式：sqrt()（開根號）、pow(x,y)（x 的 y 次方）、sin()（正弦）等。使用前記得先 #include <math.h>。

C Code：pow() 與 sqrt() 計算畢氏定理

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(void) {
    double a = 3, b = 4;
    double c = sqrt(pow(a, 2) + pow(b, 2)); // 斜邊 = √(a² + b²)
    printf("%.1f\n", c); // 5.0
    return 0;
}

🖥️ 終端機執行輸出結果

5.0

💡 白話比喻：函式庫就是一本現成的公式手冊

與其自己手刻開根號、算三角函數的演算法，不如直接呼叫 <math.h> 這本現成的「公式手冊」——pow(x, y) 算x的y次方、sqrt(x) 算平方根，兩者組合起來就能直接照數學公式寫出畢氏定理，不需要重新發明輪子。

2 定義域（domain）錯誤：對負數開根號

使用數學函式時要留意定義域（domain）問題——例如對負數開根號在數學上無定義（沒有實數解），執行時會產生 domain error，即使程式語法完全正確，也會在執行期出錯。

C Code：sin(x) 在特定區間為負，開根號會出錯

#include <math.h>
float x = 6.28, y;
while (x > 0) {
    y = sqrt(sin(x));   // 若 sin(x) < 0，這裡就會發生 domain error
    x -= 0.1;
}

x（弧度）範圍	sin(x) 的正負號
(0, π) 約(0, 3.1416)	正
(π, 2π) 約(3.1416, 6.2832)	負

⚠️ 統測常考陷阱：x 的初始值剛好落在 sin(x) 為負的區間

正弦函數 sin(x) 一個完整週期是 2π≈6.2832，其中 (π, 2π)（約3.14~6.28）這段範圍的函數值是負數。如果迴圈裡 x 的值（弧度）剛好落在這個區間，sin(x) 算出負值，緊接著的 sqrt() 就會嘗試對負數開根號，觸發 domain error。

3 fabs()／floor()／ceil()：絕對值與捨去進位

這三個函式都要 #include <math.h>，分別對應「絕對值」、「無條件捨去」、「無條件進位」，跟四捨五入（需自己用 +0.5 後取整數部分）是不同的觀念。

C Code：fabs／floor／ceil 常用數學函式

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(void) {
    printf("%.1f\n", fabs(-7.5));  // 7.5，取絕對值
    printf("%.1f\n", floor(3.7));  // 3.0，無條件捨去到整數
    printf("%.1f\n", ceil(3.2));   // 4.0，無條件進位到整數
    return 0;
}

函式	作用	方向
`fabs(x)`	取絕對值	結果必為正數（或0）
`floor(x)`	無條件捨去	永遠往「較小」（負無窮）方向捨去
`ceil(x)`	無條件進位	永遠往「較大」（正無窮）方向進位

⚠️ 陷阱：floor／ceil 對負數的方向容易搞混

對負數而言，floor(-2.3) 是-3（比-2.3更小、更負的方向），不是直覺以為的-2；ceil(-2.3) 才是-2（比-2.3更大的方向）。floor／ceil 永遠是照「數線上的方向」（左邊變小、右邊變大）判斷，不是「捨去小數部分讓數字更靠近0」。

4 fmin()／fmax()：比較並回傳較小／較大值

fmin(x, y) 回傳兩個浮點數中較小的那個；fmax(x, y) 回傳較大的那個。常跟 pow()、sqrt()、exp() 等函式組合出現在同一個運算式裡。

C Code：fmin／fmax 與其他數學函式組合運算

#include <math.h>
int X1=10, X2=10000, Y=3;
printf("%6.2f", fmin(pow(X1, Y), sqrt(X2)));
// pow(X1,Y) = 10³ = 1000
// sqrt(X2)  = sqrt(10000) = 100
// fmin(1000, 100) = 100 → 輸出 "100.00"

🧠 逐步拆解多層函式呼叫的訣竅：由內往外，一步一步算

遇到 fmin(pow(X1,Y), sqrt(X2)) 這種巢狀函式呼叫，不要試圖一眼看穿最終結果，先把每一個「最內層」的函式單獨算出數值（pow(X1,Y)=?、sqrt(X2)=?），再把算出來的數值代入最外層的 fmin() 或 fmax() 比較，一步一步來就不容易出錯。

5 勘根定理（Intermediate Value Theorem）：判斷區間內是否存在函數的解

判斷一個連續函數在區間 [m, n] 內是否存在零點（f(x)=0的解），數學上常用勘根定理：只要區間兩端點的函數值 f(m) 與 f(n) 異號（相乘小於等於0），該區間內就必定存在一個解。

C Code：用 f(m)*f(n)<=0 判斷區間內是否存在解

#include <math.h>
double f(double x) { return x - 2; }   // 假設的連續函數

if (f(1) * f(3) <= 0) {
    printf("[1,3] 區間內存在 f(x)=0 的解\n");  // 因 f(1)=-1, f(3)=1，異號 → 成立
}

💡 為什麼是「相乘」而不是「相加」或「相減」？

兩個數異號（一正一負）的數學表示法，就是「兩數相乘會得到負數（或其中一個為0時得到0）」——這正是勘根定理判斷式要用乘法的原因。相加或相減都無法可靠地反映「兩數是否異號」這件事：例如一正一負相加，結果可能是正也可能是負，取決於誰的絕對值比較大，不能保證一定小於等於0。

6 常考陷阱總複習：型態、精度與定義域的交互影響

數學函式庫題目常把「浮點數精度」、「格式化輸出」、「定義域」這幾個觀念揉合在一起考。整理三個檢查重點：

檢查重點	常見陷阱
定義域	對負數 sqrt()、對超出範圍的 x 用不適用的函式
格式化輸出	%.3f 這類精度指定符只規定小數位數，不影響整數部分位數
多層函式呼叫	要由內往外逐步計算，不要跳過中間步驟直接猜結果

🧠 記憶口訣

「開根號先看正負，算函式先算裡面」——看到 sqrt() 先確認裡面的運算式會不會是負數；看到多層函式呼叫，先由最內層開始一步步算出中間值，再往外代入。

7 111～115 歷屆統測真題全選項深度剖析（共 3 題）

以下收錄統測專業科目（二）近年全部 3 題數學函式庫與應用題真題。每題均提供高解析度原始考題掃描圖、互動選項按鈕與所有選項逐項深入解析：

113 統測專二 Q42 📌 概念：函式／數值方法（勘根定理IVT應用）

試題來源：技專校院入學測驗中心

針對一次多項式f(x)=ax+b，想知道x落在[m,n]範圍內時是否存在f(x)=0，若found為1表示範圍內存在f(x)=0，if判斷式中 ?? 可以為下列何者？

題幹程式碼

float a=1, b=0, m=-11, n=12;
float f(float x){
    return(a*x+b);
}
int main(){
    float x;
    unsigned char found=0;
    scanf("%f",&a); scanf("%f",&b);
    scanf("%f",&m); scanf("%f",&n);
    if(  ??  <=0 )
        found = 1;
    printf("found=%d\n", found);
}

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

這是勘根定理的標準判斷方式：若f(m)與f(n)兩端點函數值異號（或其中一端為0），代表[m,n]內必存在f(x)=0的解，數學表示即為兩端點函數值相乘小於等於0，即 f(m)*f(n) <= 0，選 (A)。

選項 B（f(m) + f(n)）錯誤解析

兩數相加的正負號無法反映「兩數是否異號」——例如f(m)=-10, f(n)=1，兩數確實異號（區間內有解），但相加-10+1=-9小於0；若f(m)=10, f(n)=1，兩數同號（都是正，區間內未必有解），相加卻是11大於0。但也可能出現兩個都是負數的情況相加同樣小於0，無法用加法可靠地分辨兩數是否異號。

選項 C（f(m) - f(n)）錯誤解析

兩數相減的正負號代表的是「哪一個值比較大」，跟兩數是否異號完全是兩回事——例如f(m)=5, f(n)=3（同號，都是正），相減得2大於0；但f(m)=-5,f(n)=-8（同號，都是負）相減同樣大於0，兩種情況結果符號一樣卻無法反映「是否異號」這個要判斷的重點。

選項 D（f(m) % f(n)）錯誤解析

% 是取餘數運算子，只能用在整數型態上，f(m)、f(n)是浮點數（float）運算的結果，對浮點數使用 % 在C語言中無法通過編譯（型態不符），而且取餘數的結果跟「兩數是否異號」也沒有直接的數學關聯。

114 統測專二 Q47 📌 概念：數學函式庫／浮點數運算除錯（定義域錯誤）

試題來源：技專校院入學測驗中心

程式執行後畫面出現錯誤訊息，其造成原因為何？

題幹程式碼

#include <math.h>
float x=6.28, y;
int i;
while(x>0){
    y=sqrt(sin(x));
    printf("square root of sin(%f) = %f\n", x, y);
    x-=0.1;
}

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

x（弧度）從6.28開始每次遞減0.1，範圍大致涵蓋(0, 6.28]，橫跨了幾乎一整個週期(0, 2π≈6.2832)。sin(x) 在(π, 2π)區間（約3.1416~6.2832）為負值，x的初始值6.28正好落在此區間，sqrt() 對負數開根號屬於數學定義域錯誤（domain error），選 (A)。

選項 B（sin(x)結果為0）錯誤解析

sin(x)的值為0（例如x剛好等於π或2π的整數倍附近）並不會造成sqrt()發生任何錯誤——0的平方根就是0，這是完全合法、有定義的運算，不會產生domain error。

選項 C（x是單精度浮點數）錯誤解析

float（單精度浮點數）本身可以正常傳入sin()函式並得到夠精確的三角函數值，資料精度不是造成這個錯誤訊息的原因；即使把x改成double，只要x的值仍然落在讓sin(x)為負的區間，sqrt()一樣會發生同樣的定義域錯誤。

選項 D（x有負數的情況）錯誤解析

sin()函式對負數的x本身是完全有定義的（正弦函數在整個實數範圍內都有值），問題並不是出在x本身是不是負數，而是出在sin(x)這個「函式回傳的結果值」在某些x的情況下會是負數，才會導致後續的sqrt()發生定義域錯誤。

115 統測專二 Q48 📌 概念：函式庫呼叫（數學函式pow/sqrt/fmin/fmax）

試題來源：技專校院入學測驗中心

在 int X1=10, X2=10000, Y=3; 的情況下，下列何者執行結果為100.00？

題幹程式碼（函式說明）

// double fmin(double x, double y)  比較並回傳較小值
// double fmax(double x, double y)  比較並回傳較大值
// double pow(double x, double y)   計算x的y次方
// double exp(double x)             計算e的x次方
// double sqrt(double x)            計算x的平方根

// 已知 int X1=10, X2=10000, Y=3;
printf("%6.2f", fmin(pow(X1, Y), sqrt(X2)));

🔍 四個選項逐項深度剖析

選項 A 錯誤解析

pow(X1,Y)=10³=1000；exp(Y)=e³≈20.09。fmin(1000, 20.09) 會取兩者中較小的，也就是20.09，格式化輸出會是"20.09"，並不是100.00。

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

pow(X1,Y)=10³=1000；sqrt(X2)=sqrt(10000)=100。fmin(1000,100) 取兩者中較小的，也就是100，格式化輸出為"100.00"，符合題目要求，選 (B)。

選項 C 錯誤解析

pow(X1,Y)=1000；exp(Y)≈20.09。fmax(1000,20.09) 會取兩者中較大的，也就是1000，格式化輸出會是"1000.00"，並不是100.00。

選項 D 錯誤解析

pow(X1,Y)=1000；sqrt(X2)=100。fmax(1000,100) 會取兩者中較大的，也就是1000，格式化輸出會是"1000.00"，並不是100.00——這個選項的兩個函式參數(pow,sqrt)其實跟正確答案(B)一模一樣，但用fmax（取最大值）取代了應該用的fmin（取最小值），一字之差導致結果完全不同。

8 高職段考與模擬精選實戰題（5 題全選項解析）

透過以下 5 題精選模擬試題，全面檢驗你對常用數學函式、定義域錯誤、fmin/fmax與勘根定理的掌握度：

模擬實戰第 1 題 📌 概念：pow()／sqrt() 計算畢氏定理

已知下列 C 語言程式碼片段，執行後印出的內容為何？

C Code

double a = 6, b = 8;
double c = sqrt(pow(a,2) + pow(b,2));
printf("%.1f", c);

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

pow(a,2)=6²=36；pow(b,2)=8²=64；相加得100；sqrt(100)=10。格式化輸出"10.0"，選 (A)。

選項 B（14.0）錯誤解析

此答案很可能是把 a+b=6+8=14 直接當成答案，完全跳過了pow()平方跟sqrt()開根號這兩個關鍵運算步驟。

選項 C（100.0）錯誤解析

此答案算對了 pow(a,2)+pow(b,2)=36+64=100 這個中間值，但忘記了外層還有一個 sqrt() 要對這個中間值開根號，100本身還不是最終答案，還需要再開一次根號變成10。

選項 D（7.0）錯誤解析

此答案的來源不易對應到程式碼實際的運算過程，可能是心算過程中某個平方或加總步驟出錯，導致最終開根號前的數值算錯，得到不正確的結果。

模擬實戰第 2 題 📌 概念：sqrt() 定義域錯誤

已知下列 C 語言程式碼片段，執行時會發生什麼情況？

C Code

#include <math.h>
double x = -9;
double y = sqrt(x);
printf("%.1f", y);

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

x=-9是負數，對負數執行 sqrt() 開根號在數學上沒有實數解，這是定義域錯誤（domain error），屬於執行期才會發生的錯誤，選 (A)。

選項 B（正常輸出-3.0）錯誤解析

此答案誤以為sqrt()會回傳一個負的平方根，但數學上「平方根」的定義本來就不包含負數的情況（-9沒有實數平方根），sqrt()不會回傳-3.0這種負數結果。

選項 C（正常輸出3.0）錯誤解析

此答案誤以為sqrt()會自動先把輸入值取絕對值（把-9當成9來開根號），但sqrt()並不會這麼做，它會直接對輸入值-9本身嘗試開根號，觸發定義域錯誤，而不是先取絕對值再正常運算。

選項 D（編譯錯誤）錯誤解析

這段程式碼的語法完全正確，sqrt()接受一個double型態的引數也完全符合函式原型，可以正常通過編譯；問題是發生在執行期的定義域錯誤，不是編譯期的語法錯誤。

模擬實戰第 3 題 📌 概念：floor／ceil／fabs 對負數的方向

已知下列 C 語言程式碼片段，執行後印出的內容為何？

C Code

#include <math.h>
printf("%.0f %.0f %.0f", floor(-2.3), ceil(-2.3), fabs(-2.3));

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

floor(-2.3) 無條件捨去到「較小」的整數（往負無窮方向捨去），結果是-3.0；ceil(-2.3) 無條件進位到「較大」的整數（往正無窮方向進位），結果是-2.0；fabs(-2.3) 取絕對值，結果是2.3，用 %.0f 四捨五入到整數位是2。輸出"-3 -2 2"，選 (A)。

選項 B（-2 -3 2）錯誤解析

把floor跟ceil的方向弄反了。floor是「往下（較小的方向）」捨去，ceil是「往上（較大的方向）」進位——對負數而言，「往下」代表數值更小（更負），所以floor(-2.3)應該是-3（比-2.3更小），不是-2；ceil(-2.3)才是-2。

選項 C（-3 -2 -2）錯誤解析

前兩個算對了，但 fabs(-2.3) 算錯了——fabs是取絕對值，結果必定是正數（或0），2.3的絕對值是2.3，不會維持負數-2.3，也不會是-2。

選項 D（-2 -2 2）錯誤解析

floor(-2.3) 算錯了，誤以為floor對負數的捨去方向跟對正數一樣「捨去小數部分、只留整數部分朝0靠近」（也就是變成-2），但floor對負數的正確行為是「朝負無窮方向捨去」，結果應該是比-2.3更小的-3，不是-2。

模擬實戰第 4 題 📌 概念：fmin／fmax 與多層函式呼叫

已知下列 C 語言程式碼片段，執行後印出的內容為何？

C Code

#include <math.h>
double p = pow(2, 5);
double s = sqrt(49);
printf("%.1f %.1f", fmin(p, s), fmax(p, s));

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

p=pow(2,5)=2⁵=32；s=sqrt(49)=7。fmin(32,7) 取較小的，得7；fmax(32,7) 取較大的，得32。依printf引數順序輸出"7.0 32.0"，選 (A)。

選項 B（32.0 7.0）錯誤解析

把fmin跟fmax的結果對調了，誤以為fmin回傳的是較大值、fmax回傳的是較小值，但實際上fmin是取「較小」值、fmax是取「較大」值，這個選項的邏輯剛好相反。

選項 C（32.0 32.0）錯誤解析

兩個值都算成了p跟s中較大的那個（32），可能誤以為fmin跟fmax在這種情境下效果相同，但兩者的定義明確不同，一個取較小、一個取較大，結果不會一樣。

選項 D（7.0 7.0）錯誤解析

兩個值都算成了p跟s中較小的那個（7），同樣誤以為fmin跟fmax效果相同，忽略了兩者分別對應「較小值」與「較大值」這個關鍵差異。

模擬實戰第 5 題 📌 概念：勘根定理（IVT）應用判斷

已知下列 C 語言程式碼片段，執行後印出的內容為何？

C Code

#include <math.h>
double f(double x) { return x*x - 4; }  // f(x)=x²-4
int main(void) {
    double m = 0, n = 3;
    if (f(m) * f(n) <= 0)
        printf("區間內存在解");
    else
        printf("區間內可能不存在解");
    return 0;
}

🔍 四個選項逐項深度剖析

正確答案完整推導（★ 本題標準答案）

f(0)=0²-4=-4；f(3)=3²-4=5。兩端點函數值一負一正，異號，f(0)*f(3)=-4×5=-20，小於等於0，判斷式成立，依勘根定理，[0,3]這個區間內必定存在至少一個f(x)=0的解（實際上x=2就是一個解，2確實落在[0,3]區間內），印出"區間內存在解"，選 (A)。

選項 B 錯誤解析

此答案誤判了f(0)與f(3)是否異號，或誤算了 f(0)*f(3) 的正負號。f(0)=-4為負，f(3)=5為正，兩者相乘必為負數（小於等於0），判斷式 <=0 成立，應該執行if分支印出「存在解」，不會是else分支。

選項 C 錯誤解析

這段程式碼語法完全正確，函式定義、變數宣告、if-else判斷式都符合標準C語法，不會有編譯錯誤。

選項 D 錯誤解析

這段程式碼裡沒有任何迴圈結構（只有一個簡單的if-else判斷），不會發生無窮迴圈的情況。

9 考前衝刺 10 秒速記口訣 & 核心知識檢核清單

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常用數學函式
sqrt()開根號、pow(x,y)算x的y次方、sin()正弦，都需要#include <math.h>。

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定義域錯誤
sqrt()對負數會產生domain error；先確認裡面的運算式會不會變成負數。

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floor／ceil 對負數的方向
floor永遠往負無窮（更小）方向捨去；ceil永遠往正無窮（更大）方向進位。

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fmin／fmax 不要混淆
fmin取較小值、fmax取較大值，一字之差結果可能完全不同。

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勘根定理口訣
兩端點函數值f(m)、f(n)異號 ⇔ f(m)*f(n)<=0 ⇔ 區間內必有解，只有乘法能可靠判斷異號。

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多層函式呼叫由內往外算
先算出最內層函式的數值，再一步步代入外層函式，不要跳步驟直接猜答案。